두 포물선 \(y=x^2+3x\)와 \(y=-2x^2+6\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라.
풀이
교점의 \(x\) 좌표를 구한다.
\(x^2+3x=-2x^2+6\)
\(3x^2+3x-6=0\)
\(x^2+x-2=0\)
\((x+2)(x-1)=0\)
\(x=-2,1\)
따라서 적분구간은 \(-2\leq x\leq1\)이 되고, 이 구간에서 \(-2x^2+6\geq x^2+3x\)이다.
도형의 넓이는
\(\displaystyle\int_{-2}^1(-2x^2+6-x^2-3x)dx=\int_{-2}^1(-3x^2-3x+6)dx\)
\(\displaystyle=\left[-x^3-\frac{3x^2}{2}+6x\right]_{-2}^1\)
\(\displaystyle=-1-\frac{3}{2}+6-\left(-(-2)^3-\frac{3(-2)^2}{2}+6(-2)\right)\)
\(\displaystyle=\frac{7}{2}-(8-6-12)=\frac{7}{2}+10=\frac{27}{2}\)
이다.