다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=-x^2+2x+3$$
풀이
\(f'(x)=-2x+2=-2(x-1)\)
\(x=1\)에서 극대값은 \(4\)이다.
대학수학 연습문제
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\vert x\vert$$
풀이
\(x=0\)에서 극소값은 \(0\)이다.
대학수학 연습문제
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=2$$
풀이
\(f'(x)=0\)
증가, 감소하는 범위는 없다.
대학수학 연습문제
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=x^3-3x$$
풀이
\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)\)
증가하는 범위는 \(x\leq-1\), \(x\geq1\)이다.
감소하는 범위는 \(-1\leq x\leq1\)이다.
대학수학 연습문제
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=x^2-6x-3$$
풀이
\(f'(x)=2x-6=2(x-3)\)
증가하는 범위는 \(x\geq3\)이다.
감소하는 범위는 \(x\leq3\)이다.
대학수학 연습문제
곡선 \(y=-x^2+2x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 직선 \(y=kx\)에 의해 이등분된다고 한다. 이때 기울기 \(k\)를 구하라.
풀이
곡선 \(y=-x^2+2x\)와 직선 \(y=0\)의 교점의 \(x\) 좌표를 구한다.
\(-x^2+2x=0\)
\(-x(x-2)=0\)
\(x=0, 2\)
적분구간 \(0\leq x\leq2\)에서 \(-x^2+2x\geq0\)이다.
도형의 넓이는
\(\displaystyle\int_0^2(-x^2+2x)dy=\left[-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2\)
\(\displaystyle=-\frac{8}{3}+4=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}\)
이다.
도형의 넓이의 절반은 \(\displaystyle\frac{2}{3}\)이다.
곡선 \(y=-x^2+2x\)와 직선 \(y=kx\)의 교점의 \(x\) 좌표를 구한다.
\(-x^2+2x=kx\)
\(-x^2+2x-kx=0\)
\(-x^2+(2-k)x=0\)
\(-x(x-(2-k))=0\)
\(x=0, 2-k\)
적분구간 \(0\leq x\leq2-k\)에서 \(-x^2+2x\geq kx\)이다.
\(\displaystyle\int_0^{2-k}(-x^2+2x-kx)dx=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{(2-k)x^2}{2}\right]_0^{2-k}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle-\frac{(2-k)^3}{3}+\frac{(2-k)(2-k)^2}{2}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle\frac{(2-k)^3}{2}-\frac{(2-k)^3}{3}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle\frac{(2-k)^3}{6}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle(2-k)^3=4\)
\(\displaystyle2-k=\sqrt[3]{4}\)
\(\displaystyle k=2-\sqrt[3]{4}\)
대학수학 연습문제
곡선 \(2x=y^2\)과 직선 \(y=2x-2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라.
풀이
교점의 \(y\) 좌표를 구한다.
\(\displaystyle\frac{y^2}{2}=\frac{y+2}{2}\)
\(y^2=y+2\)
\(y^2-y-2=0\)
\((y-2)(y+1)=0\)
\(y=-1,2\)
적분구간 \(-1\leq y\leq2\)에서 \(\displaystyle\frac{y^2}{2}\leq\frac{y+2}{2}\)이다.
도형의 넓이는
\(\displaystyle\int_{-1}^2\left(\frac{y+2}{2}-\frac{y^2}{2}\right)dy=\int_{-1}^2\left(-\frac{y^2}{2}+\frac{y}{2}+1\right)dy\)
\(\displaystyle=\left[-\frac{y^3}{6}+\frac{y^2}{4}+y\right]_{-1}^2\)
\(\displaystyle=-\frac{8}{6}+1+2-\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-1\right)\)
\(\displaystyle=\frac{-4+9}{3}-\frac{2+3-12}{12}\)
\(\displaystyle=\frac{5}{3}+\frac{7}{12}=\frac{20+7}{12}\)
\(\displaystyle=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}\)
이다.