곡선 \(2x=y^2\)과 직선 \(y=2x-2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라.
풀이
교점의 \(y\) 좌표를 구한다.
\(\displaystyle\frac{y^2}{2}=\frac{y+2}{2}\)
\(y^2=y+2\)
\(y^2-y-2=0\)
\((y-2)(y+1)=0\)
\(y=-1,2\)
적분구간 \(-1\leq y\leq2\)에서 \(\displaystyle\frac{y^2}{2}\leq\frac{y+2}{2}\)이다.
도형의 넓이는
\(\displaystyle\int_{-1}^2\left(\frac{y+2}{2}-\frac{y^2}{2}\right)dy=\int_{-1}^2\left(-\frac{y^2}{2}+\frac{y}{2}+1\right)dy\)
\(\displaystyle=\left[-\frac{y^3}{6}+\frac{y^2}{4}+y\right]_{-1}^2\)
\(\displaystyle=-\frac{8}{6}+1+2-\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-1\right)\)
\(\displaystyle=\frac{-4+9}{3}-\frac{2+3-12}{12}\)
\(\displaystyle=\frac{5}{3}+\frac{7}{12}=\frac{20+7}{12}\)
\(\displaystyle=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}\)
이다.