곡선 \(y=-x^2+2x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 직선 \(y=kx\)에 의해 이등분된다고 한다. 이때 기울기 \(k\)를 구하라.
풀이
곡선 \(y=-x^2+2x\)와 직선 \(y=0\)의 교점의 \(x\) 좌표를 구한다.
\(-x^2+2x=0\)
\(-x(x-2)=0\)
\(x=0, 2\)
적분구간 \(0\leq x\leq2\)에서 \(-x^2+2x\geq0\)이다.
도형의 넓이는
\(\displaystyle\int_0^2(-x^2+2x)dy=\left[-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2\)
\(\displaystyle=-\frac{8}{3}+4=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}\)
이다.
도형의 넓이의 절반은 \(\displaystyle\frac{2}{3}\)이다.
곡선 \(y=-x^2+2x\)와 직선 \(y=kx\)의 교점의 \(x\) 좌표를 구한다.
\(-x^2+2x=kx\)
\(-x^2+2x-kx=0\)
\(-x^2+(2-k)x=0\)
\(-x(x-(2-k))=0\)
\(x=0, 2-k\)
적분구간 \(0\leq x\leq2-k\)에서 \(-x^2+2x\geq kx\)이다.
\(\displaystyle\int_0^{2-k}(-x^2+2x-kx)dx=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{(2-k)x^2}{2}\right]_0^{2-k}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle-\frac{(2-k)^3}{3}+\frac{(2-k)(2-k)^2}{2}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle\frac{(2-k)^3}{2}-\frac{(2-k)^3}{3}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle\frac{(2-k)^3}{6}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle(2-k)^3=4\)
\(\displaystyle2-k=\sqrt[3]{4}\)
\(\displaystyle k=2-\sqrt[3]{4}\)