함수 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)가 \(x=1\)에서 극대값 \(8\)을 가지고 \(x=3\)에서 극소값을 가진다고 한다. 이때 \(a\), \(b\), \(c\)를 구하라.
풀이
\(f'(x)=3x^2+2ax+b=0\)
\(d(x-1)(x-3)=0\)
\(dx^2-4dx+3d=0\)
\(dx^2-4dx+3d=3x^2+2ax+b\)
\(d=3\)
\(-4d=2a\)
\(-4(3)=2a\)
\(a=-6\)
\(3d=b\)
\(3(3)=b\)
\(b=9\)
\(f(1)=1^3+a(1)^2+b(1)+c=8\)
\(1+a+b+c=8\)
\(1-6+9+c=8\)
\(c=4\)