증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\vert x^3-3x\vert$$
풀이
\(\displaystyle g(x)=x^3-3x=x(x^2-3)=x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\)
\(\displaystyle g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)\)
\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -\sqrt{3} & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{3} & \cdots \\ \hline g’ & + & + & + & 0 & – & – & – & 0 & + & + & + \\ \hline g & \nearrow & 0 & \nearrow & 극대 & \searrow & 0 & \searrow & 극소 & \nearrow & 0 & \nearrow \\ \hline f & \searrow & 극소 & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow \end{array}
\(\displaystyle f(-\sqrt{3})=f(0)=f(\sqrt{3})=0\)
\(\displaystyle f(-1)=\vert (-1)^3-3(-1)\vert=\vert-1+3\vert=2\)
\(\displaystyle f(1)=\vert (1)^3-3(1)\vert=\vert1-3\vert=2\)
\(f(x)\)는 \(x=-1,\;1\)에서 극대값은 \(2\)이고, \(x=-\sqrt{-3},\;0,\;\sqrt{3}\)에서 극소값은 \(0\)이다.