곡선 \(x=y-2\sqrt{y}\)와 \(y\)축으로 둘러싸인 부분을 \(y\)축으로 회전시킨 입체의 부피를 구하라.
풀이
1. 먼저 \(y\)축에서의 교점을 구한다.
\(0=y-2\sqrt{y}\)
\(2\sqrt{y}=y\)
\(4y=y^2\)
\(y^2-4y=0\)
\(y(y-4)=0\)
\(y=0,\;4\)
2. 입체의 부피를 구한다.
\(\displaystyle\pi\int_0^4(y-2\sqrt{y})^2dy=\int_0^4(y^2-4\sqrt{y}\cdot y+4y)dy\)
\(\displaystyle=\pi\int_0^4(y^2-4\sqrt{y^3}+4y)dy\)
\(\displaystyle=\pi\int_0^4(y^2-4y^{\frac{3}{2}}+4y)dy\)
\(\displaystyle=\pi\left[\frac{y^3}{3}-4\frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}}+2y^2\right]_0^4\)
\(\displaystyle=\pi\left[\frac{y^3}{3}-\frac{8y^2\sqrt{y}}{5}+2y^2\right]_0^4\)
\(\displaystyle=\pi\left(\frac{4^3}{3}-\frac{8(4)^2\sqrt{4}}{5}+2(4)^2\right)\)
\(\displaystyle=\pi\left(\frac{64}{3}-\frac{8(4)^2(2)}{5}+32\right)\)
\(\displaystyle=\pi\left(\frac{64+96}{3}-\frac{256}{5}\right)\)
\(\displaystyle=\pi\left(\frac{160}{3}-\frac{256}{5}\right)\)
\(\displaystyle=\pi\left(\frac{800-768}{15}\right)\)
\(\displaystyle=\frac{32}{15}\pi\)