이계도함수 판정법을 이용하여 다음 함수의 극점을 판별하여라.
$$f(x)=x^3-12x^2+36x-10$$
풀이
\(f'(x)=3x^2-24x+36=3(x^2-8x+12)=3(x-6)(x-2)\)
\(f'{}'(x)=6x-24=6(x-4)\)
\(f'(x)=0\)인 \(x\)의 값은 \(2\), \(6\)이고,
\(f'{}'(2)=-12<0\), \(f'{}'(6)=12>0\)이다.
\(f(2)=(2)^3-12(2)^2+36(2)-10\)
\(=8-12(4)+72-10=80-58=22\)
\(f(6)=(6)^3-12(6)^2+36(6)-10\)
\(=216-12(36)+216-10=432-432-10=-10\)
따라서 \(f(x)\)는 \(x=2\)일 때 극대값 \(22\), \(x=6\)일 때 극소값 \(-10\)을 갖는다.
다음 주어진 함수에 대해 아래로 볼록인 구간을 구하라.
$$y=1-x^3-x^4$$
풀이
\(y’=-4x^3-3x^2=-x^2(4x+3)\)
\(y'{}’=-12x^2-6x=-6x(2x+1)\)
\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -\frac{3}{4} & \cdots & -\frac{1}{2} & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline y’ & + & 0 & – & – & – & 0 & – \\ \hline y'{}’ & – & – & – & 0 & + & 0 & – \\ \hline y & \nearrow & 극대 & \searrow & 변곡점 & \searrow & 변곡점 & \searrow \end{array}
\(y\)가 아래로 볼록인 구간은 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\leq x\leq0\)이다.
다음 주어진 함수에 대해 아래로 볼록인 구간을 구하라.
$$y=\frac{1}{x-2}$$
풀이
\(\displaystyle y’=\frac{1′(x-2)-1(x-2)’}{(x-2)^2}=-\frac{1}{(x-2)^2}\)
\(\displaystyle y'{}’=\frac{(-1)'(x^2-4x+4)-(-1)(x^2-4x+4)’}{(x-2)^4}=\frac{2x-4}{(x-2)^4}\)
\(\displaystyle=\frac{2(x-2)}{(x-2)^4}=\frac{2}{(x-2)^3}\)
\begin{array} {c|c|c|c} x & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline y’ & – & & – \\ \hline y'{}’ & – & & + \\ \hline f & \searrow & & \searrow \end{array}
\(f(x)\)가 아래로 볼록인 구간은 \(x>2\)이다.
다음 주어진 함수에 대해 아래로 볼록인 구간을 구하라.
$$f(x)=2+3x-x^3$$
풀이
\(f'(x)=-3x^2+3=-3(x^2-1)=-3(x+1)(x-1)\)
\(f'{}'(x)=-6x\)
\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f’ & – & 0 & + & + & + & 0 & – \\ \hline f'{}’ & + & + & + & 0 & – & – & – \\ \hline f & \searrow & 극소 & \nearrow & 변곡점 & \nearrow & 극대 & \searrow \end{array}
\(f(x)\)가 아래로 볼록인 구간은 \(x\leq0\)이다.
곡선 \(x=y-2\sqrt{y}\)와 \(y\)축으로 둘러싸인 부분을 \(y\)축으로 회전시킨 입체의 부피를 구하라.
풀이
1. 먼저 \(y\)축에서의 교점을 구한다.
\(0=y-2\sqrt{y}\)
\(2\sqrt{y}=y\)
\(4y=y^2\)
\(y^2-4y=0\)
\(y(y-4)=0\)
\(y=0,\;4\)
2. 입체의 부피를 구한다.
\(\displaystyle\pi\int_0^4(y-2\sqrt{y})^2dy=\int_0^4(y^2-4\sqrt{y}\cdot y+4y)dy\)
\(\displaystyle=\pi\int_0^4(y^2-4\sqrt{y^3}+4y)dy\)
\(\displaystyle=\pi\int_0^4(y^2-4y^{\frac{3}{2}}+4y)dy\)
\(\displaystyle=\pi\left[\frac{y^3}{3}-4\frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}}+2y^2\right]_0^4\)
\(\displaystyle=\pi\left[\frac{y^3}{3}-\frac{8y^2\sqrt{y}}{5}+2y^2\right]_0^4\)
\(\displaystyle=\pi\left(\frac{4^3}{3}-\frac{8(4)^2\sqrt{4}}{5}+2(4)^2\right)\)
\(\displaystyle=\pi\left(\frac{64}{3}-\frac{8(4)^2(2)}{5}+32\right)\)
\(\displaystyle=\pi\left(\frac{64+96}{3}-\frac{256}{5}\right)\)
\(\displaystyle=\pi\left(\frac{160}{3}-\frac{256}{5}\right)\)
\(\displaystyle=\pi\left(\frac{800-768}{15}\right)\)
\(\displaystyle=\frac{32}{15}\pi\)
높이가 \(5\)인 어떤 구조물은 높이 \(x\)에서의 단면이 한 변의 길이가 \(30-x^2\)인 정사각형이라고 한다. 이때 이 구조물의 부피를 구하라.
풀이
\(\displaystyle\int_0^5{(30-x^2)^2}dx=\displaystyle\int_0^5(x^4-60x^2+900)dx\)
\(\displaystyle=\left[\frac{x^5}{5}-20x^3+900x\right]_0^5\)
\(\displaystyle=\frac{(5)^5}{5}-20(5)^3+900(5)-\left(\frac{(0)^5}{5}-20(0)^3+900(0)\right)\)
\(\displaystyle=625-2500+4500=2625\)
증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\vert x^3-3x\vert$$
풀이
\(\displaystyle g(x)=x^3-3x=x(x^2-3)=x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})\)
\(\displaystyle g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)\)
\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -\sqrt{3} & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{3} & \cdots \\ \hline g’ & + & + & + & 0 & – & – & – & 0 & + & + & + \\ \hline g & \nearrow & 0 & \nearrow & 극대 & \searrow & 0 & \searrow & 극소 & \nearrow & 0 & \nearrow \\ \hline f & \searrow & 극소 & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow \end{array}
\(\displaystyle f(-\sqrt{3})=f(0)=f(\sqrt{3})=0\)
\(\displaystyle f(-1)=\vert (-1)^3-3(-1)\vert=\vert-1+3\vert=2\)
\(\displaystyle f(1)=\vert (1)^3-3(1)\vert=\vert1-3\vert=2\)
\(f(x)\)는 \(x=-1,\;1\)에서 극대값은 \(2\)이고, \(x=-\sqrt{-3},\;0,\;\sqrt{3}\)에서 극소값은 \(0\)이다.
증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$$
풀이
\(\displaystyle f'(x)=\frac{x'(x^2+1)-x(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{x^2+1-x(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}=-\frac{(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}\)
\begin{array} {c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f’ & – & 0 & + & 0 & – \\ \hline f & \searrow & 극소 & \nearrow & 극대 & \searrow \end{array}
\(\displaystyle f(-1)=\frac{-1}{(-1)^2+1}=-\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle f(1)=\frac{1}{(1)^2+1}=\frac{1}{2}\)
\(x=-1\)에서 극소값은 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\)이고, \(x=1\)에서 극대값은 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)이다.
증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=x^4-\frac{8}{3}x^3+2x^2$$
풀이
\(f'(x)=4x^3-8x^2+4x\)
\(=4x(x^2-2x+1)=4x(x-1)^2\)
\begin{array} {c|c|c|c|c|c} x & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f’ & – & 0 & + & 0 & + \\ \hline f & \searrow & 극소 & \nearrow & & \nearrow \end{array}
\(\displaystyle f(0)=(0)^4-\frac{8}{3}(0)^3+2(0)^2=0\)
\(x=0\)에서 극소값은 \(0\)이다.
증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=2x^3-3x^2-36x+14$$
풀이
\(f'(x)=6x^2-6x-36\)
\(=6(x^2-x-6)=6(x-3)(x+2)\)
\begin{array} {c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -2 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f’ & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow \end{array}
\(f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-36(-2)+14\)
\(=2(-8)-3(4)-36(-2)+14\)
\(=-16-12+72+14=58\)
\(f(3)=2(3)^3-3(3)^2-36(3)+14\)
\(=2(27)-3(9)-36(3)+14\)
\(=54-27-108+14=-67\)
\(x=-2\)에서 극대값은 \(58\)이고, \(x=3\)에서 극소값은 \(-67\)이다.