증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\frac{x}{x^2+1}$$
풀이
\(\displaystyle f'(x)=\frac{x'(x^2+1)-x(x^2+1)’}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{x^2+1-x(2x)}{(x^2+1)^2}=\frac{x^2+1-2x^2}{(x^2+1)^2}\)
\(\displaystyle=\frac{-x^2+1}{(x^2+1)^2}=-\frac{(x+1)(x-1)}{(x^2+1)^2}\)
\begin{array} {c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -1 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f’ & – & 0 & + & 0 & – \\ \hline f & \searrow & 극소 & \nearrow & 극대 & \searrow \end{array}
\(\displaystyle f(-1)=\frac{-1}{(-1)^2+1}=-\frac{1}{2}\)
\(\displaystyle f(1)=\frac{1}{(1)^2+1}=\frac{1}{2}\)
\(x=-1\)에서 극소값은 \(\displaystyle-\frac{1}{2}\)이고, \(x=1\)에서 극대값은 \(\displaystyle\frac{1}{2}\)이다.