높이가 \(5\)인 어떤 구조물은 높이 \(x\)에서의 단면이 한 변의 길이가 \(30-x^2\)인 정사각형이라고 한다. 이때 이 구조물의 부피를 구하라.
풀이
\(\displaystyle\int_0^5{(30-x^2)^2}dx=\displaystyle\int_0^5(x^4-60x^2+900)dx\)
\(\displaystyle=\left[\frac{x^5}{5}-20x^3+900x\right]_0^5\)
\(\displaystyle=\frac{(5)^5}{5}-20(5)^3+900(5)-\left(\frac{(0)^5}{5}-20(0)^3+900(0)\right)\)
\(\displaystyle=625-2500+4500=2625\)