이계도함수 판정법을 이용하여 다음 함수의 극점을 판별하여라.
$$f(x)=8x^2-x^4$$
풀이
\(f'(x)=-4x^3+16x=-4x(x^2-4)=-4x(x+2)(x-2)\)
\(f'{}'(x)=-12x^2+16=-4(3x^2-4)\)
\(f'(x)=0\)인 \(x\)의 값은 \(-2\), \(0\), \(2\)이다.
\(f'{}'(-2)=-4(3(-2)^2-4)=-4(3(4)-4)=-4(12-4)\)
\(=-4(8)=-32<0\)
\(f'{}'(0)=-4(3(0)^2-4)=-4(-4)=16>0\)
\(f'{}'(2)=-4(3(2)^2-4)=-4(3(4)-4)=-4(12-4)\)
\(=-4(8)=-32<0\)
\(f(x)=8x^2-x^4=x^2(8-x^2)\)
\(f(-2)=(-2)^2(8-(-2)^2)=4(8-4)=4(4)=16\)
\(f(0)=(0)^2(8-(0)^2)=0(8-0)=0\)
\(f(2)=(2)^2(8-(2)^2)=4(8-4)=4(4)=16\)
따라서 \(f(x)\)는 \(x=-2\)일 때 극대값 \(16\), \(x=0\)일 때 극소값 \(0\), \(x=2\)일 때 극대값 \(16\)을 갖는다.