다음 곡선에 대해 주어진 점에서의 접선의 방정식을 구하라.
y=\frac{x}{\sqrt{x-2}},\quad(3,3)
풀이
양변을 x에 대해 미분하면
\frac{dy}{dx}=\frac{\sqrt{x-2}-x\{(x-2)^{\frac{1}{2}}\}’}{x-2}
=\frac{\sqrt{x-2}-x(\frac{1}{2}(x-2)^{-\frac{1}{2}})}{x-2}
=\frac{\frac{2(x-2)-x}{2\sqrt{x-2}}}{x-2}
=\frac{x-4}{2\sqrt{x-2}\cdot(x-2)}
이다.
점 (3,3)에서의 접선의 기울기는 \frac{dy}{dx}에 (x,y)=(3,3)를 대입한 것이다.
\frac{dy}{dx}\vert_{(x,y)=(3,3)}=\frac{-1}{2\cdot1\cdot1}=-\frac{1}{2}
이다.
따라서 접선의 방정식은 y-3=-\frac{1}{2}(x-3), 즉 y=-\frac{1}{2}x+\frac{9}{2}이다.