한철수 – 페이지 7

2025년 3월 19일

대학수학 연습문제

점 $x=1$ 에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$f(x)=\sqrt{\vert x-1\vert}$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert 1+\Delta x -1 \vert}-\sqrt{\vert 1-1 \vert}}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}$

그런데

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\Delta x}}{\Delta x}$

$\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{-\Delta x}}{\Delta x}$

좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 $\displaystyle f'(1)$ 은 존재하지 않는다.

2025년 3월 19일

대학수학 연습문제

점 $x=1$ 에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$f(x)=\vert x \vert$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\vert 1+\Delta x \vert-\vert 1 \vert}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+\Delta x-1}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}1=1$

2025년 3월 18일

대학수학 연습문제

점 $x=1$ 에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$f(x)=ax+b$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a(1+\Delta x)+b-(a+b)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a+a\Delta x+b-a-b}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}a=a$

2025년 3월 17일

대학수학 연습문제

점 $x=1$ 에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

$f(x)=x^2$

풀이

$\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+2\Delta x +\Delta x^2-1}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x +\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2 +\Delta x)}{\Delta x}$

$\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2 +\Delta x)=2+0=2$

2025년 3월 16일

대학수학 연습문제

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1,\:\lim_{x\to1}g(x)=2$ 일 때 다음 극한값을 구하라.

$\lim_{x\to1}g(f(x))$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to1}g(f(x))=g(f(1))=g(1)=2$

2025년 3월 13일

대학수학 연습문제

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1,\:\lim_{x\to1}g(x)=2$ 일 때 다음 극한값을 구하라.

$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{3+f(x)}}{x-\{g(x)\}^2}$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{3+f(x)}}{x-\{g(x)\}^2}=\frac{\sqrt{3+1}}{1-2^2}=-\frac{2}{3}$

2025년 3월 9일

대학수학 연습문제

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1,\:\lim_{x\to1}g(x)=2$ 일 때 다음 극한값을 구하라.

$\lim_{x\to1}(2f(x)+3g(x)+f(x)g(x))$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to1}(2f(x)+3g(x)+f(x)g(x))=2\cdot1+3\cdot2+1\cdot2$

$\displaystyle=2+6+2=10$

2025년 3월 8일2025년 3월 9일

대학수학 연습문제

주어진 점 $x=0$ 에서 좌극한, 우극한, 함수값을 각각 구하라. 그리고 이를 이용하여 $x=0$ 에서의 연속성을 논하라.

$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2+1,&x<0\\-x+1,&x=0\\x,&x>0\end{array}\right.$

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to0-}f(x)=\lim_{x\to0-}(x^2+1)=0+1=1$

$\displaystyle\lim_{x\to0+}f(x)=\lim_{x\to0+}x=0$

$f(0)=1$

$x=0$ 에서 좌극한과 우극한이 서로 다르다.

따라서 $f(x)$ 는 $x=0$ 에서 불연속이다.

2025년 3월 8일

대학수학 연습문제

실수 전체에서 다음 함수가 불연속이 되는 점을 조사하라.

$f(x)=x-\lfloor x\rfloor$

풀이

모든 정수 $n$ 에 대해

$\displaystyle\lim_{x\to n+}f(x)=\lim_{x\to n+}(x-\lfloor x\rfloor)=n-n=0$

$\displaystyle\lim_{x\to n-}f(x)=\lim_{x\to n-}(x-\lfloor x\rfloor)=n-(n-1)=1$

이므로 좌극한과 우극한이 서로 다르다.

따라서 모든 정수 $n$ 에 대해 $x=n$ 이 불연속점이다.

2025년 3월 7일

대학수학 연습문제

실수 전체에서 다음 함수가 불연속이 되는 점을 조사하라.

$f(x)=\frac{\vert x+1\vert}{x+1}$

풀이

실수 $-1$ 에 대해

$\displaystyle\lim_{x\to-1+}f(x)=\lim_{x\to-1+}\frac{\vert x+1\vert}{x+1}=\lim_{x\to-1+}\frac{x+1}{x+1}=1$

$\displaystyle\lim_{x\to-1-}f(x)=\lim_{x\to-1-}\frac{\vert x+1\vert}{x+1}=\lim_{x\to-1-}\frac{-(x+1)}{x+1}=-1$

이므로 좌극한과 우극한이 서로 다르다.

따라서 $x=-1$ 이 불연속점이다.