[카테고리:] 수학

$\displaystyle f(x)=\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2+x-2}$에 대하여

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=0,\:\lim_{x\to\infty}f(x)=1$이 되도록 $a,\:b,\:c,\:d$를 정하라.

풀이

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{ax^3+bx^2+cx+d}{x^2+x-2}$

$\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\frac{ax+b+c/x+d/x^2}{1+1/x-2/x^2}=\frac{ax+b+0+0}{1+0-0}$

$\displaystyle=ax+b=1$

따라서 $\displaystyle a=0,\:b=1$이다.

$\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}\frac{0x^3+1x^2+cx+d}{x^2+x-2}$

$\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{x^2+cx+d}{(x+2)(x-1)}=0$

위 식에서 $\displaystyle x^2+cx+d=(x-1)^2=x^2-2x+1$이다.

따라서 $\displaystyle c=-2,\:d=1$이다.

다음 극한을 구하라.

$$\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-3x-2}{x^2-3x+2}$$

풀이

유리함수이고 $\frac{\infty}{\infty}$꼴이므로 인수분해 후 약분하고, 분모의 최고차항으로 분자와 분모를 나누면,

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2x^2-3x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to\infty}\frac{(2x+1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\lim_{x\to\infty}\frac{2x+1}{x-1}$

$\displaystyle=\lim_{x\to\infty}\frac{2+1/x}{1-1/x}=\frac{2+0}{1-0}=2$

이다.

다음 극한을 구하라.

$$\lim_{x\to\infty}\frac{x-3}{x^2-9}$$

풀이

유리함수이고 $\frac{\infty}{\infty}$꼴이므로 분모의 최고차항으로 분자와 분모를 나누면,

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x-3}{x^2-9}=\lim_{x\to\infty}\frac{1/x-3/x^2}{1-9/x^2}=\frac{0-0}{1-0}=0$

이다.

다음 극한을 구하라.

$$\lim_{x\to2}\frac{2x^2-3x-2}{x^2-3x+2}$$

풀이

유리함수이고 $\frac{0}{0}$꼴이므로 인수분해 후 약분하면,

$\displaystyle\lim_{x\to2}\frac{2x^2-3x-2}{x^2-3x+2}=\lim_{x\to2}\frac{(2x+1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\lim_{x\to2}\frac{2x+1}{x-1}=5$

이다.

다음 극한을 구하라.

$$\lim_{x\to3}\frac{x-3}{x^2-9}$$

풀이

유리함수이고 $\frac{0}{0}$꼴이므로 인수분해 후 약분하면,

$\displaystyle\lim_{x\to3} \frac{x-3}{x^2-9}=\lim_{x\to3}\frac{x-3}{(x-3)(x+3)}=\lim_{x\to3}\frac{1}{x+3}=\frac{1}{6}$

이다.