Processing math: 100%

대학수학 연습문제

함수 f(x)x=2에서 미분가능하고 f'(2)=2일 때, 다음 극한값을 구하라.

\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}

풀이

\displaystyle f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2

\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}

\displaystyle=2\lim_{x\to2}\frac{1}{x^2+2x+4}=\frac{2}{4+4+4}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}

대학수학 연습문제

함수 \displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}ax+4,&x<1\\bx^2+2x,&x\geq1\end{array}\right.x=1에서 미분가능할 때 a, b의 값을 구하라.

풀이

함수 f(x)x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이다.

따라서 \displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)는 같다.

\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(ax+4)=a+4

\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(bx^2+2x)=b+2

위 식으로부터 a+4=b+2가 얻어진다.

또한, \displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}는 같다.

\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a(1+\Delta x)+4-(a+4)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a+a\Delta x+4-a-4}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}a=a

\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+\Delta x)^2+2(1+\Delta x)-(b+2)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+2\Delta x+\Delta x^2)+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b+2b\Delta x+b\Delta x^2+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(2b+2)\Delta x+b\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2b+2+b\Delta x)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2b+2+b\Delta x)=2b+2+b\cdot0=2b+2

위 식으로부터 a=2b+2가 얻어진다.

두 식 a+4=b+2a=2b+2로부터 ab를 구한다.

2b+2+4=b+2

b=-4

a=2\cdot(-4)+2=-6

따라서 a=-6, b=-4이다.

대학수학 연습문제

다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.

y=2x-3,\quad(2,1)

풀이

\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2(2+\Delta x)-3-(2\cdot2-3)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{4+2\Delta x-3-(4-3)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x+1-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}2=2

따라서 접선의 방정식은 y-1=2(x-2), 즉 y=2x-3이다.

대학수학 연습문제

다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.

y=\frac{1}{x},\quad\left(2,\frac{1}{2}\right)

풀이

\displaystyle f'(2)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(2+\Delta x)-f(2)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{1}{2+\Delta x}-\frac{1}{2}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{2-(2+\Delta x)}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\frac{-\Delta x}{2(2+\Delta x)}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{-1}{2(2+\Delta x)}

\displaystyle=\frac{-1}{2(2+0)}=-\frac{1}{4}

따라서 접선의 방정식은

\displaystyle y-\frac{1}{2}=-\frac{1}{4}(x-2), 즉 \displaystyle y=-\frac{1}{4}x+1이다.

대학수학 연습문제

다음 주어진 식과 그 위의 점에서의 접선의 방정식을 구하라.

y=x^2+3x,\quad(1,4)

풀이

\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x)^2+3(1+\Delta x)-(1+3)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+2\Delta x+\Delta x^2+3+3\Delta x-4}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x^2+5\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(\Delta x+5)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(\Delta x+5)=0+5=5

따라서 접선의 방정식은 y-4=5(x-1), 즉 y=5x-1이다.

대학수학 연습문제

x=1에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

f(x)=\sqrt{\vert x-1\vert}

풀이

\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert 1+\Delta x -1 \vert}-\sqrt{\vert 1-1 \vert}}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}

그런데

\displaystyle\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0+}\frac{\sqrt{\Delta x}}{\Delta x}

\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{\vert \Delta x \vert}}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{\sqrt{-\Delta x}}{\Delta x}

좌극한과 우극한이 모두 존재하지만 서로 일치하지 않으므로 \displaystyle f'(1)은 존재하지 않는다.

대학수학 연습문제

x=1에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

f(x)=\vert x \vert

풀이

\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\vert 1+\Delta x \vert-\vert 1 \vert}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+\Delta x-1}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}1=1

대학수학 연습문제

x=1에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

f(x)=ax+b

풀이

\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a(1+\Delta x)+b-(a+b)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a+a\Delta x+b-a-b}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}a=a

대학수학 연습문제

x=1에서 다음 함수의 미분계수를 구하라.

f(x)=x^2

풀이

\displaystyle f'(1)=\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(1+\Delta x)^2-1}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{1+2\Delta x +\Delta x^2-1}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{2\Delta x +\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2 +\Delta x)}{\Delta x}

\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2 +\Delta x)=2+0=2

대학수학 연습문제

\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=1,\:\lim_{x\to1}g(x)=2일 때 다음 극한값을 구하라.

\lim_{x\to1}g(f(x))

풀이

\displaystyle\lim_{x\to1}g(f(x))=g(f(1))=g(1)=2