함수 \displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}ax+4,&x<1\\bx^2+2x,&x\geq1\end{array}\right.이 x=1에서 미분가능할 때 a, b의 값을 구하라.
풀이
함수 f(x)가 x=1에서 미분가능하면 x=1에서 연속이다.
따라서 \displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)와 \displaystyle \lim_{x\to1}f(x)는 같다.
\displaystyle \lim_{x\to1-}f(x)=\lim_{x\to1-}(ax+4)=a+4
\displaystyle \lim_{x\to1}f(x)=\lim_{x\to1}(bx^2+2x)=b+2
위 식으로부터 a+4=b+2가 얻어진다.
또한, \displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}과 \displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}는 같다.
\displaystyle\lim_{\Delta x\to0-}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a(1+\Delta x)+4-(a+4)}{\Delta x}
\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a+a\Delta x+4-a-4}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}\frac{a\Delta x}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0-}a=a
\displaystyle\lim_{\Delta x\to0}\frac{f(1+\Delta x)-f(1)}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+\Delta x)^2+2(1+\Delta x)-(b+2)}{\Delta x}
\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b(1+2\Delta x+\Delta x^2)+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}
\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{b+2b\Delta x+b\Delta x^2+2+2\Delta x-b-2}{\Delta x}
\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}\frac{(2b+2)\Delta x+b\Delta x^2}{\Delta x}=\lim_{\Delta x\to0}\frac{\Delta x(2b+2+b\Delta x)}{\Delta x}
\displaystyle=\lim_{\Delta x\to0}(2b+2+b\Delta x)=2b+2+b\cdot0=2b+2
위 식으로부터 a=2b+2가 얻어진다.
두 식 a+4=b+2와 a=2b+2로부터 a와 b를 구한다.
2b+2+4=b+2
b=-4
a=2\cdot(-4)+2=-6
따라서 a=-6, b=-4이다.