Mathematics

2025-05-26

대학수학 연습문제

$f(x)=x^4+x^3-3x^2+1$의 변곡점에서 접선의 방정식을 구하라.

풀이

$\displaystyle f'(x)=4x^3+3x^2-6x=x(4x^2+3x-6)$

$\displaystyle f'{}'(x)=12x^2+6x-6=6(2x^2+x-1)=6(2x-1)(x+1)$

\begin{array} {c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -1 & \cdots & \frac{1}{2} & \cdots \\ \hline f'{}’ & + & 0 & – & 0 & + \end{array}

$\displaystyle f(-1)=(-1)^4+(-1)^3-3(-1)^2+1=1-1-3(1)+1=-2$

$\displaystyle f\left(\frac{1}{2}\right)=\left(\frac{1}{2}\right)^4+\left(\frac{1}{2}\right)^3-3\left(\frac{1}{2}\right)^2+1$

$\displaystyle=\frac{1}{16}+\frac{1}{8}-\frac{3}{4}+1=\frac{1+2-12+16}{16}=\frac{7}{16}$

변곡점은 $\displaystyle\left(-1, -2\right), \left(\frac{1}{2}, \frac{7}{16}\right)$이다.

$\displaystyle f'(-1)=(-1)(4(-1)^2+3(-1)-6)$

$\displaystyle=-(4(1)+-3-6)=-(4-3-6)=-(-5)=5$

$\displaystyle f’\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(4\left(\frac{1}{2}\right)^2+3\left(\frac{1}{2}\right)-6\right)$

$\displaystyle=\frac{1}{2}\left(4\left(\frac{1}{4}\right)+\frac{3}{2}-6\right)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{3}{2}-6\right)$

$\displaystyle=\frac{1}{2}\left(\frac{2+3-12}{2}\right)=\frac{1}{2}\left(\frac{-7}{2}\right)=-\frac{7}{4}$

1. 변곡점 $\displaystyle\left(-1, -2\right)$에서 접선의 방정식을 구한다.

$y-f(-1)=f'(-1)(x-(-1))$

$y-(-2)=5(x+1)$

$y+2=5x+5$

$y=5x+3$

2. 변곡점 $\displaystyle\left(\frac{1}{2}, \frac{7}{16}\right)$에서 접선의 방정식을 구한다.

$\displaystyle y-f\left(\frac{1}{2}\right)=f’\left(\frac{1}{2}\right)\left(x-\frac{1}{2}\right)$

$\displaystyle y-\frac{7}{16}=-\frac{7}{4}\left(x-\frac{1}{2}\right)$

$\displaystyle y-\frac{7}{16}=-\frac{7}{4}x+\frac{7}{8}$

$\displaystyle y=-\frac{7}{4}x+\frac{7}{8}+\frac{7}{16}$

$\displaystyle y=-\frac{7}{4}x+\frac{14+7}{16}$

$\displaystyle y=-\frac{7}{4}x+\frac{21}{16}$

2025-05-25

대학수학 연습문제

이계도함수 판정법을 이용하여 다음 함수의 극점을 판별하여라.

$$f(x)=x\sqrt{8-x^2}$$

풀이

$\displaystyle f(x)=x(8-x^2)^\frac{1}{2}$

$\displaystyle f'(x)=x'(8-x^2)^\frac{1}{2}+x\left((8-x^2)^\frac{1}{2}\right)’$

$\displaystyle=(8-x^2)^\frac{1}{2}+x\left(\frac{1}{2}(8-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x)\right)$

$\displaystyle=(8-x^2)^\frac{1}{2}-x^2(8-x^2)^{-\frac{1}{2}}$

$\displaystyle=\sqrt{8-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{8-x^2}}$

$\displaystyle=\frac{8-x^2-x^2}{\sqrt{8-x^2}}=\frac{8-2x^2}{\sqrt{8-x^2}}$

$\displaystyle=\frac{-2(x^2-4)}{\sqrt{8-x^2}}=\frac{-2(x+2)(x-2)}{\sqrt{8-x^2}}$

$\displaystyle f'{}'(x)=\frac{(8-2x^2)’\sqrt{8-x^2}-(8-2x^2)(\sqrt{8-x^2})’}{8-x^2}$

$\displaystyle=\frac{-4x\sqrt{8-x^2}-(8-2x^2)((8-x^2)^\frac{1}{2})’}{8-x^2}$

$\displaystyle=\frac{-4x\sqrt{8-x^2}-(8-2x^2)(\frac{1}{2}(8-x^2)^{-\frac{1}{2}}(-2x))}{8-x^2}$

$\displaystyle=\frac{-4x\sqrt{8-x^2}+x(8-2x^2)((8-x^2)^{-\frac{1}{2}})}{8-x^2}$

$\displaystyle=\frac{-4x\sqrt{8-x^2}+\frac{x(8-2x^2)}{\sqrt{8-x^2}}}{8-x^2}$

$\displaystyle=\frac{\frac{-4x(8-x^2)+x(8-2x^2)}{\sqrt{8-x^2}}}{8-x^2}$

$\displaystyle=\frac{-4x(8-x^2)+x(8-2x^2)}{\sqrt{8-x^2}(8-x^2)}$

$\displaystyle=\frac{4x^3-32x-2x^3+8x}{\sqrt{8-x^2}(8-x^2)}$

$\displaystyle=\frac{2x^3-24x}{\sqrt{8-x^2}(8-x^2)}$

$\displaystyle f'(x)=0$인 $x$의 값은 $-2$, $2$이다.

$\displaystyle f'{}'(-2)=\frac{2(-2)^3-24(-2)}{\sqrt{8-(-2)^2}(8-(-2)^2)}$

$\displaystyle=\frac{2(-8)+48}{\sqrt{8-4}(8-4)}=\frac{-16+48}{\sqrt{4}(4)}$

$\displaystyle=\frac{32}{2(4)}=\frac{32}{8}=4>0$

$\displaystyle f'{}'(2)=\frac{2(2)^3-24(2)}{\sqrt{8-(2)^2}(8-(2)^2)}$

$\displaystyle=\frac{2(8)-48}{\sqrt{8-4}(8-4)}$

$\displaystyle=\frac{16-48}{\sqrt{4}(4)}=\frac{-32}{2(4)}$

$\displaystyle=\frac{-32}{8}=-4<0$

$f(-2)=(-2)\sqrt{8-(-2)^2}=-2\sqrt{8-4}=-2\sqrt{4}=-2(2)=-4$

$f(2)=(2)\sqrt{8-(2)^2}=2\sqrt{8-4}=2\sqrt{4}=2(2)=4$

따라서 $f(x)$는 $x=-2$일 때 극소값 $-4$, $x=2$일 때 극대값 $4$를 갖는다.

2025-05-25

대학수학 연습문제

이계도함수 판정법을 이용하여 다음 함수의 극점을 판별하여라.

$$f(x)=8x^2-x^4$$

풀이

$f'(x)=-4x^3+16x=-4x(x^2-4)=-4x(x+2)(x-2)$

$f'{}'(x)=-12x^2+16=-4(3x^2-4)$

$f'(x)=0$인 $x$의 값은 $-2$, $0$, $2$이다.

$f'{}'(-2)=-4(3(-2)^2-4)=-4(3(4)-4)=-4(12-4)$

$=-4(8)=-32<0$

$f'{}'(0)=-4(3(0)^2-4)=-4(-4)=16>0$

$f'{}'(2)=-4(3(2)^2-4)=-4(3(4)-4)=-4(12-4)$

$=-4(8)=-32<0$

$f(x)=8x^2-x^4=x^2(8-x^2)$

$f(-2)=(-2)^2(8-(-2)^2)=4(8-4)=4(4)=16$

$f(0)=(0)^2(8-(0)^2)=0(8-0)=0$

$f(2)=(2)^2(8-(2)^2)=4(8-4)=4(4)=16$

따라서 $f(x)$는 $x=-2$일 때 극대값 $16$, $x=0$일 때 극소값 $0$, $x=2$일 때 극대값 $16$을 갖는다.

2025-05-24

대학수학 연습문제

이계도함수 판정법을 이용하여 다음 함수의 극점을 판별하여라.

$$f(x)=x^3-12x^2+36x-10$$

풀이

$f'(x)=3x^2-24x+36=3(x^2-8x+12)=3(x-6)(x-2)$

$f'{}'(x)=6x-24=6(x-4)$

$f'(x)=0$인 $x$의 값은 $2$, $6$이고,

$f'{}'(2)=-12<0$, $f'{}'(6)=12>0$이다.

$f(2)=(2)^3-12(2)^2+36(2)-10$

$=8-12(4)+72-10=80-58=22$

$f(6)=(6)^3-12(6)^2+36(6)-10$

$=216-12(36)+216-10=432-432-10=-10$

따라서 $f(x)$는 $x=2$일 때 극대값 $22$, $x=6$일 때 극소값 $-10$을 갖는다.

2025-05-23

대학수학 연습문제

다음 주어진 함수에 대해 아래로 볼록인 구간을 구하라.

$$y=1-x^3-x^4$$

풀이

$y’=-4x^3-3x^2=-x^2(4x+3)$

$y'{}’=-12x^2-6x=-6x(2x+1)$

\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -\frac{3}{4} & \cdots & -\frac{1}{2} & \cdots & 0 & \cdots \\ \hline y’ & + & 0 & – & – & – & 0 & – \\ \hline y'{}’ & – & – & – & 0 & + & 0 & – \\ \hline y & \nearrow & 극대 & \searrow & 변곡점 & \searrow & 변곡점 & \searrow \end{array}

$y$가 아래로 볼록인 구간은 $\displaystyle-\frac{1}{2}\leq x\leq0$이다.

2025-05-18

대학수학 연습문제

다음 주어진 함수에 대해 아래로 볼록인 구간을 구하라.

$$y=\frac{1}{x-2}$$

풀이

$\displaystyle y’=\frac{1′(x-2)-1(x-2)’}{(x-2)^2}=-\frac{1}{(x-2)^2}$

$\displaystyle y'{}’=\frac{(-1)'(x^2-4x+4)-(-1)(x^2-4x+4)’}{(x-2)^4}=\frac{2x-4}{(x-2)^4}$

$\displaystyle=\frac{2(x-2)}{(x-2)^4}=\frac{2}{(x-2)^3}$

\begin{array} {c|c|c|c} x & \cdots & 2 & \cdots \\ \hline y’ & – & & – \\ \hline y'{}’ & – & & + \\ \hline f & \searrow & & \searrow \end{array}

$f(x)$가 아래로 볼록인 구간은 $x>2$이다.

2025-05-182025-05-18

대학수학 연습문제

다음 주어진 함수에 대해 아래로 볼록인 구간을 구하라.

$$f(x)=2+3x-x^3$$

풀이

$f'(x)=-3x^2+3=-3(x^2-1)=-3(x+1)(x-1)$

$f'{}'(x)=-6x$

\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots \\ \hline f’ & – & 0 & + & + & + & 0 & – \\ \hline f'{}’ & + & + & + & 0 & – & – & – \\ \hline f & \searrow & 극소 & \nearrow & 변곡점 & \nearrow & 극대 & \searrow \end{array}

$f(x)$가 아래로 볼록인 구간은 $x\leq0$이다.

2025-05-162025-05-16

대학수학 연습문제

곡선 $x=y-2\sqrt{y}$와 $y$축으로 둘러싸인 부분을 $y$축으로 회전시킨 입체의 부피를 구하라.

풀이

1. 먼저 $y$축에서의 교점을 구한다.

$0=y-2\sqrt{y}$

$2\sqrt{y}=y$

$4y=y^2$

$y^2-4y=0$

$y(y-4)=0$

$y=0,\;4$

2. 입체의 부피를 구한다.

$\displaystyle\pi\int_0^4(y-2\sqrt{y})^2dy=\int_0^4(y^2-4\sqrt{y}\cdot y+4y)dy$

$\displaystyle=\pi\int_0^4(y^2-4\sqrt{y^3}+4y)dy$

$\displaystyle=\pi\int_0^4(y^2-4y^{\frac{3}{2}}+4y)dy$

$\displaystyle=\pi\left[\frac{y^3}{3}-4\frac{2}{5}y^{\frac{5}{2}}+2y^2\right]_0^4$

$\displaystyle=\pi\left[\frac{y^3}{3}-\frac{8y^2\sqrt{y}}{5}+2y^2\right]_0^4$

$\displaystyle=\pi\left(\frac{4^3}{3}-\frac{8(4)^2\sqrt{4}}{5}+2(4)^2\right)$

$\displaystyle=\pi\left(\frac{64}{3}-\frac{8(4)^2(2)}{5}+32\right)$

$\displaystyle=\pi\left(\frac{64+96}{3}-\frac{256}{5}\right)$

$\displaystyle=\pi\left(\frac{160}{3}-\frac{256}{5}\right)$

$\displaystyle=\pi\left(\frac{800-768}{15}\right)$

$\displaystyle=\frac{32}{15}\pi$

2025-05-15

대학수학 연습문제

높이가 $5$인 어떤 구조물은 높이 $x$에서의 단면이 한 변의 길이가 $30-x^2$인 정사각형이라고 한다. 이때 이 구조물의 부피를 구하라.

풀이

$\displaystyle\int_0^5{(30-x^2)^2}dx=\displaystyle\int_0^5(x^4-60x^2+900)dx$

$\displaystyle=\left[\frac{x^5}{5}-20x^3+900x\right]_0^5$

$\displaystyle=\frac{(5)^5}{5}-20(5)^3+900(5)-\left(\frac{(0)^5}{5}-20(0)^3+900(0)\right)$

$\displaystyle=625-2500+4500=2625$

2025-05-14

대학수학 연습문제

증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.

$$f(x)=\vert x^3-3x\vert$$

풀이

$\displaystyle g(x)=x^3-3x=x(x^2-3)=x(x+\sqrt{3})(x-\sqrt{3})$

$\displaystyle g'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)$

\begin{array} {c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -\sqrt{3} & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{3} & \cdots \\ \hline g’ & + & + & + & 0 & – & – & – & 0 & + & + & + \\ \hline g & \nearrow & 0 & \nearrow & 극대 & \searrow & 0 & \searrow & 극소 & \nearrow & 0 & \nearrow \\ \hline f & \searrow & 극소 & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow \end{array}

$\displaystyle f(-\sqrt{3})=f(0)=f(\sqrt{3})=0$

$\displaystyle f(-1)=\vert (-1)^3-3(-1)\vert=\vert-1+3\vert=2$

$\displaystyle f(1)=\vert (1)^3-3(1)\vert=\vert1-3\vert=2$

$f(x)$는 $x=-1,\;1$에서 극대값은 $2$이고, $x=-\sqrt{-3},\;0,\;\sqrt{3}$에서 극소값은 $0$이다.