증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=2x^3-3x^2-36x+14$$
풀이
\(f'(x)=6x^2-6x-36\)
\(=6(x^2-x-6)=6(x-3)(x+2)\)
\begin{array} {c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -2 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f’ & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow \end{array}
\(f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-36(-2)+14\)
\(=2(-8)-3(4)-36(-2)+14\)
\(=-16-12+72+14=58\)
\(f(3)=2(3)^3-3(3)^2-36(3)+14\)
\(=2(27)-3(9)-36(3)+14\)
\(=54-27-108+14=-67\)
\(x=-2\)에서 극대값은 \(58\)이고, \(x=3\)에서 극소값은 \(-67\)이다.
함수 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)가 \(x=1\)에서 극대값 \(8\)을 가지고 \(x=3\)에서 극소값을 가진다고 한다. 이때 \(a\), \(b\), \(c\)를 구하라.
풀이
\(f'(x)=3x^2+2ax+b=0\)
\(d(x-1)(x-3)=0\)
\(dx^2-4dx+3d=0\)
\(dx^2-4dx+3d=3x^2+2ax+b\)
\(d=3\)
\(-4d=2a\)
\(-4(3)=2a\)
\(a=-6\)
\(3d=b\)
\(3(3)=b\)
\(b=9\)
\(f(1)=1^3+a(1)^2+b(1)+c=8\)
\(1+a+b+c=8\)
\(1-6+9+c=8\)
\(c=4\)
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\sqrt[3]{x^2}$$
풀이
\(x=0\)에서 극소값은 \(0\)이다.
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2,&x\neq0\\1,&x=0\end{array}\right.$$
풀이
\(x=0\)에서 극대값은 \(1\)이다.
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=-x^2+2x+3$$
풀이
\(f'(x)=-2x+2=-2(x-1)\)
\(x=1\)에서 극대값은 \(4\)이다.
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\vert x\vert$$
풀이
\(x=0\)에서 극소값은 \(0\)이다.
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=2$$
풀이
\(f'(x)=0\)
증가, 감소하는 범위는 없다.
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=x^3-3x$$
풀이
\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)\)
증가하는 범위는 \(x\leq-1\), \(x\geq1\)이다.
감소하는 범위는 \(-1\leq x\leq1\)이다.
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=x^2-6x-3$$
풀이
\(f'(x)=2x-6=2(x-3)\)
증가하는 범위는 \(x\geq3\)이다.
감소하는 범위는 \(x\leq3\)이다.
곡선 \(y=-x^2+2x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 직선 \(y=kx\)에 의해 이등분된다고 한다. 이때 기울기 \(k\)를 구하라.
풀이
곡선 \(y=-x^2+2x\)와 직선 \(y=0\)의 교점의 \(x\) 좌표를 구한다.
\(-x^2+2x=0\)
\(-x(x-2)=0\)
\(x=0, 2\)
적분구간 \(0\leq x\leq2\)에서 \(-x^2+2x\geq0\)이다.
도형의 넓이는
\(\displaystyle\int_0^2(-x^2+2x)dy=\left[-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2\)
\(\displaystyle=-\frac{8}{3}+4=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}\)
이다.
도형의 넓이의 절반은 \(\displaystyle\frac{2}{3}\)이다.
곡선 \(y=-x^2+2x\)와 직선 \(y=kx\)의 교점의 \(x\) 좌표를 구한다.
\(-x^2+2x=kx\)
\(-x^2+2x-kx=0\)
\(-x^2+(2-k)x=0\)
\(-x(x-(2-k))=0\)
\(x=0, 2-k\)
적분구간 \(0\leq x\leq2-k\)에서 \(-x^2+2x\geq kx\)이다.
\(\displaystyle\int_0^{2-k}(-x^2+2x-kx)dx=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{(2-k)x^2}{2}\right]_0^{2-k}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle-\frac{(2-k)^3}{3}+\frac{(2-k)(2-k)^2}{2}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle\frac{(2-k)^3}{2}-\frac{(2-k)^3}{3}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle\frac{(2-k)^3}{6}=\frac{2}{3}\)
\(\displaystyle(2-k)^3=4\)
\(\displaystyle2-k=\sqrt[3]{4}\)
\(\displaystyle k=2-\sqrt[3]{4}\)