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대학수학 연습문제

다음 함수에 대해 주어진 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 \(c\)를 모두 구하라.

$$f(x)=\sqrt{x(1-x)},\quad[0,1]$$

풀이

\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{0-0}{1}=0\)

위 식이 만족하는 \(c\)를 모두 구하면 된다.

\(\displaystyle f(x)=\sqrt{x(1-x)}=(x-x^2)^{\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle f'(x)=\{(x-x^2)^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}(x-x^2)^{-\frac{1}{2}}(1-2x)\)

\(\displaystyle=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x(1-x)}}\)

\(\displaystyle f'(c)=\frac{1-2c}{2\sqrt{c(1-c)}}=0\)

\(\displaystyle 1-2c=0\)

\(\displaystyle 2c=1\)

\(\displaystyle c=\frac{1}{2}\)

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대학수학 연습문제

다음 극한값을 계산하라.

$$\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}+x-2}{x-1}$$

풀이

\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}+x-2}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}+1)(\sqrt{x}-1)}\)

\(\displaystyle=\lim_{x\to1}\frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}+1}=\frac{\sqrt{1}+2}{\sqrt{1}+1}=\frac{3}{2}\)

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대학수학 연습문제

다음 극한값을 계산하라.

$$\lim_{x\to1}\frac{x^{2008}-1}{x-1}$$

풀이

\(\displaystyle\lim_{x\to1}\frac{x^{2008}-1}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{(x-1)(x^{2007}+x^{2006}+\cdots+x^2+x^1+1)}{x-1}\)

\(\displaystyle=\lim_{x\to1}(x^{2007}+x^{2006}+\cdots+x^2+x^1+1)\)

\(\displaystyle=1^{2007}+1^{2006}+\cdots+1^2+1^1+1=2008\)

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대학수학 연습문제

다음 함수의 이계도함수를 구하라.

$$y=\frac{x}{x^2-1}$$

풀이

\(\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2+(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}\)

\(\displaystyle=\frac{x^2-2x+1+x^2+2x+1}{\{(x+1)(x-1)\}^2}=\frac{2(x^2+1)}{\{(x+1)(x-1)\}^2}\)

\(\displaystyle y’=\frac{x'(x^2-1)-x(x^2-1)’}{(x^2-1)^2}=\frac{x^2-1-x(2x)}{(x^2-1)^2}\)

\(\displaystyle=\frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2}=\frac{-(x^2+1)}{\{(x+1)(x-1)\}^2}\)

\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}\right\}\)

\(\displaystyle y'{}’=-\frac{1}{2}\left\{\left\{\frac{1}{(x+1)^2}\right\}’+\left\{\frac{1}{(x-1)^2}\right\}’\right\}\)

\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-((x+1)^2)’}{(x+1)^4}+\frac{-((x-1)^2)’}{(x-1)^4}\right\}\)

\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-(x^2+2x+1)’}{(x+1)^4}+\frac{-(x^2-2x+1)’}{(x-1)^4}\right\}\)

\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-(2x+2)}{(x+1)^4}+\frac{-(2x-2)}{(x-1)^4}\right\}\)

\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-2(x+1)}{(x+1)^4}+\frac{-2(x-1)}{(x-1)^4}\right\}\)

\(\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-2}{(x+1)^3}+\frac{-2}{(x-1)^3}\right\}\)

\(\displaystyle=\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{1}{(x-1)^3}\)

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대학수학 연습문제

다음 함수의 이계도함수를 구하라.

$$y=\sqrt{x}$$

풀이

\(\displaystyle y’=\{x^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\)

\(\displaystyle y'{}’=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}\)

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대학수학 연습문제

도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.

$$f(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)(3x-1)$$

풀이

\(\displaystyle f'(x)=((x^2+1)(x^2+x+1))'(3x-1)\)

\(\displaystyle+(x^2+1)(x^2+x+1)(3x-1)’\)

\(\displaystyle=((x^2+1)'(x^2+x+1)+(x^2+1)(x^2+x+1)’)(3x-1)\)

\(\displaystyle+3(x^2+1)(x^2+x+1)\)

\(\displaystyle=2x(x^2+x+1)(3x-1)+(x^2+1)(2x+1)(3x-1)\)

\(\displaystyle+3(x^2+1)(x^2+x+1)\)

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대학수학 연습문제

도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.

$$f(x)=\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}$$

풀이

\(\displaystyle f'(x)=\left\{\sqrt{x}\right\}’+\left\{\frac{2}{\sqrt{x}}\right\}’=\left\{x^{\frac{1}{2}}\right\}’+\left\{2x^{-\frac{1}{2}}\right\}’\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-x^{-\frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}\)

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대학수학 연습문제

도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}$$

풀이

\(\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x-2)-(x^2-1)(x-2)’}{(x-2)^2}\)

\(\displaystyle=\frac{2x(x-2)-(x^2-1)}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-4x-x^2+1}{(x-2)^2}\)

\(\displaystyle=\frac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}\)

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대학수학 연습문제

도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.

$$f(x)=(x^2+x+1)(x^3+1)$$

풀이

\(\displaystyle f'(x)=(x^2+x+1)'(x^3+1)+(x^2+x+1)(x^3+1)’\)

\(\displaystyle=(2x+1)(x^3+1)+(x^2+x+1)3x^2\)

\(\displaystyle=2x^4+2x+x^3+1+3x^4+3x^3+3x^2\)

\(\displaystyle=5x^4+4x^3+3x^2+2x+1\)