증감표를 이용하여 다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=2x^3-3x^2-36x+14$$
풀이
\(f'(x)=6x^2-6x-36\)
\(=6(x^2-x-6)=6(x-3)(x+2)\)
\begin{array} {c|c|c|c|c|c} x & \cdots & -2 & \cdots & 3 & \cdots \\ \hline f’ & + & 0 & – & 0 & + \\ \hline f & \nearrow & 극대 & \searrow & 극소 & \nearrow \end{array}
\(f(-2)=2(-2)^3-3(-2)^2-36(-2)+14\)
\(=2(-8)-3(4)-36(-2)+14\)
\(=-16-12+72+14=58\)
\(f(3)=2(3)^3-3(3)^2-36(3)+14\)
\(=2(27)-3(9)-36(3)+14\)
\(=54-27-108+14=-67\)
\(x=-2\)에서 극대값은 \(58\)이고, \(x=3\)에서 극소값은 \(-67\)이다.
함수 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)가 \(x=1\)에서 극대값 \(8\)을 가지고 \(x=3\)에서 극소값을 가진다고 한다. 이때 \(a\), \(b\), \(c\)를 구하라.
풀이
\(f'(x)=3x^2+2ax+b=0\)
\(d(x-1)(x-3)=0\)
\(dx^2-4dx+3d=0\)
\(dx^2-4dx+3d=3x^2+2ax+b\)
\(d=3\)
\(-4d=2a\)
\(-4(3)=2a\)
\(a=-6\)
\(3d=b\)
\(3(3)=b\)
\(b=9\)
\(f(1)=1^3+a(1)^2+b(1)+c=8\)
\(1+a+b+c=8\)
\(1-6+9+c=8\)
\(c=4\)
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\sqrt[3]{x^2}$$
풀이
\(x=0\)에서 극소값은 \(0\)이다.
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2,&x\neq0\\1,&x=0\end{array}\right.$$
풀이
\(x=0\)에서 극대값은 \(1\)이다.
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=-x^2+2x+3$$
풀이
\(f'(x)=-2x+2=-2(x-1)\)
\(x=1\)에서 극대값은 \(4\)이다.
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\vert x\vert$$
풀이
\(x=0\)에서 극소값은 \(0\)이다.
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=2$$
풀이
\(f'(x)=0\)
증가, 감소하는 범위는 없다.
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=x^3-3x$$
풀이
\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)\)
증가하는 범위는 \(x\leq-1\), \(x\geq1\)이다.
감소하는 범위는 \(-1\leq x\leq1\)이다.
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=x^2-6x-3$$
풀이
\(f'(x)=2x-6=2(x-3)\)
증가하는 범위는 \(x\geq3\)이다.
감소하는 범위는 \(x\leq3\)이다.
구간 \([-1,3]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(-1)=-2\)이고 \(f'(x)\leq3\)일 때 \(f(3)\)이 가질 수 있는 최대값을 구하라.
풀이
평균값 정리에 의하면 아래 식이 성립한다.
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{f(3)+2}{4}\)
\(f'(x)\leq3\)이기 때문에 \(f'(c)\leq3\)이다.
\(\displaystyle \frac{f(3)+2}{4}\leq3\)
\(\displaystyle f(3)+2\leq12\)
\(\displaystyle f(3)\leq10\)
따라서 \(f(3)\)이 가질 수 있는 최대값은 \(10\)이다.