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대학수학 연습문제

다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.

f(x)=x^3-3x

풀이

f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)

증가하는 범위는 x\leq-1, x\geq1이다.

감소하는 범위는 -1\leq x\leq1이다.

대학수학 연습문제

다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.

f(x)=x^2-6x-3

풀이

f'(x)=2x-6=2(x-3)

증가하는 범위는 x\geq3이다.

감소하는 범위는 x\leq3이다.

대학수학 연습문제

구간 [-1,3]에서 미분가능한 함수 f(x)에 대하여 f(-1)=-2이고 f'(x)\leq3일 때 f(3)이 가질 수 있는 최대값을 구하라.

풀이

평균값 정리에 의하면 아래 식이 성립한다.

\displaystyle f'(c)=\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{f(3)+2}{4}

f'(x)\leq3이기 때문에 f'(c)\leq3이다.

\displaystyle \frac{f(3)+2}{4}\leq3

\displaystyle f(3)+2\leq12

\displaystyle f(3)\leq10

따라서 f(3)이 가질 수 있는 최대값은 10이다.

대학수학 연습문제

다음 함수에 대해 주어진 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 c를 모두 구하라.

f(x)=\sqrt{x(1-x)},\quad[0,1]

풀이

\displaystyle f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{0-0}{1}=0

위 식이 만족하는 c를 모두 구하면 된다.

\displaystyle f(x)=\sqrt{x(1-x)}=(x-x^2)^{\frac{1}{2}}

\displaystyle f'(x)=\{(x-x^2)^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}(x-x^2)^{-\frac{1}{2}}(1-2x)

\displaystyle=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x(1-x)}}

\displaystyle f'(c)=\frac{1-2c}{2\sqrt{c(1-c)}}=0

\displaystyle 1-2c=0

\displaystyle 2c=1

\displaystyle c=\frac{1}{2}

대학수학 연습문제

다음 함수의 이계도함수를 구하라.

y=\frac{x}{x^2-1}

풀이

\displaystyle\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}=\frac{(x-1)^2+(x+1)^2}{(x+1)^2(x-1)^2}

\displaystyle=\frac{x^2-2x+1+x^2+2x+1}{\{(x+1)(x-1)\}^2}=\frac{2(x^2+1)}{\{(x+1)(x-1)\}^2}

\displaystyle y’=\frac{x'(x^2-1)-x(x^2-1)’}{(x^2-1)^2}=\frac{x^2-1-x(2x)}{(x^2-1)^2}

\displaystyle=\frac{x^2-1-2x^2}{(x^2-1)^2}=\frac{-(x^2+1)}{\{(x+1)(x-1)\}^2}

\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{1}{(x+1)^2}+\frac{1}{(x-1)^2}\right\}

\displaystyle y'{}’=-\frac{1}{2}\left\{\left\{\frac{1}{(x+1)^2}\right\}’+\left\{\frac{1}{(x-1)^2}\right\}’\right\}

\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-((x+1)^2)’}{(x+1)^4}+\frac{-((x-1)^2)’}{(x-1)^4}\right\}

\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-(x^2+2x+1)’}{(x+1)^4}+\frac{-(x^2-2x+1)’}{(x-1)^4}\right\}

\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-(2x+2)}{(x+1)^4}+\frac{-(2x-2)}{(x-1)^4}\right\}

\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-2(x+1)}{(x+1)^4}+\frac{-2(x-1)}{(x-1)^4}\right\}

\displaystyle=-\frac{1}{2}\left\{\frac{-2}{(x+1)^3}+\frac{-2}{(x-1)^3}\right\}

\displaystyle=\frac{1}{(x+1)^3}+\frac{1}{(x-1)^3}

대학수학 연습문제

다음 함수의 이계도함수를 구하라.

y=\sqrt{x}

풀이

\displaystyle y’=\{x^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}

\displaystyle y'{}’=\frac{1}{2}\left(-\frac{1}{2}\right)x^{-\frac{3}{2}}=-\frac{1}{4}\left(\frac{1}{\sqrt{x^3}}\right)=-\frac{1}{4x\sqrt{x}}

대학수학 연습문제

다음 함수의 이계도함수를 구하라.

y=x^3+3x^2-x-1

풀이

\displaystyle y’=3x^2+6x-1

\displaystyle y'{}’=6x+6

대학수학 연습문제

도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.

f(x)=(x^2+1)(x^2+x+1)(3x-1)

풀이

\displaystyle f'(x)=((x^2+1)(x^2+x+1))'(3x-1)

\displaystyle+(x^2+1)(x^2+x+1)(3x-1)’

\displaystyle=((x^2+1)'(x^2+x+1)+(x^2+1)(x^2+x+1)’)(3x-1)

\displaystyle+3(x^2+1)(x^2+x+1)

\displaystyle=2x(x^2+x+1)(3x-1)+(x^2+1)(2x+1)(3x-1)

\displaystyle+3(x^2+1)(x^2+x+1)

대학수학 연습문제

도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.

f(x)=\sqrt{x}+\frac{2}{\sqrt{x}}

풀이

\displaystyle f'(x)=\left\{\sqrt{x}\right\}’+\left\{\frac{2}{\sqrt{x}}\right\}’=\left\{x^{\frac{1}{2}}\right\}’+\left\{2x^{-\frac{1}{2}}\right\}’

\displaystyle=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}+2(-\frac{1}{2})x^{-\frac{3}{2}}=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}-x^{-\frac{3}{2}}

\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{\sqrt{x^3}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}-\frac{1}{x\sqrt{x}}

대학수학 연습문제

도함수의 공식을 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.

f(x)=\frac{x^2-1}{x-2}

풀이

\displaystyle f'(x)=\frac{(x^2-1)'(x-2)-(x^2-1)(x-2)’}{(x-2)^2}

\displaystyle=\frac{2x(x-2)-(x^2-1)}{(x-2)^2}=\frac{2x^2-4x-x^2+1}{(x-2)^2}

\displaystyle=\frac{x^2-4x+1}{(x-2)^2}