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수직선 위를 움직이고 있는 어떤 입자는 시간 \(t\)에서의 가속도가 \(a(t)=6t+4\), 초기 속도는 \(v(0)=-6\), 초기 위치는 \(s(0)=3\)이라고 한다. 이때 운동방정식 \(s(t)\)를 구하라.
풀이
\(v'(t)=a(t)\)
\(\displaystyle v(t)=\int{6t+4}dt=\frac{6}{2}t^2+4t+C=3t^2+4t+C\)
\(v(0)=-6=3(0)^2+4(0)+C=C\)
\(v(t)=3t^2+4t-6\)
\(s'(t)=v(t)\)
\(\displaystyle s(t)=\int{3t^2+4t-6}dt=\frac{3}{3}t^3+\frac{4}{2}t^2-6t+C=t^3+2t^2-6t+C\)
\(s(0)=3=(0)^3+2(0)^2-6(0)+C=C\)
\(s(t)=t^3+2t^2-6t+3\)
\(\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}-\frac{1}{x^2}\)의 부정적분 \(F(x)\)가 \(\displaystyle F(4)=\frac{5}{4}\)일 때, \(F(x)\)를 구하라.
풀이
\(\displaystyle F(x)=\int\left(\frac{1}{4}\sqrt{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\int\left(\frac{1}{4}x^{\frac{1}{2}}-x^{-2}\right)dx\)
\(\displaystyle=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-(-x^{-1})+C=\frac{1}{6}\sqrt{x^3}+x^{-1}+C\)
\(\displaystyle=\frac{1}{6}x\sqrt{x}+\frac{1}{x}+C\)
\(\displaystyle F(4)=\frac{5}{4}=\frac{1}{6}4\sqrt{4}+\frac{1}{4}+C\)
\(\displaystyle C=\frac{5}{4}-\frac{1}{6}4\cdot2-\frac{1}{4}=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}\)
\(\displaystyle F(x)=\frac{1}{6}x\sqrt{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{3}\)
다음 부정적분을 구하라.
$$\int\sqrt{2x-1}dx$$
풀이
\(\displaystyle\int\sqrt{2x-1}dx=\int(2x-1)^{\frac{1}{2}}dx\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}(2x-1)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(2x-1)^{\frac{3}{2}}+C\)
다음 부정적분을 구하라.
$$\int\frac{1}{(2x+3)^4}dx$$
풀이
\(\displaystyle\int\frac{1}{(2x+3)^4}dx=\int(2x+3)^{-4}dx\)
\(\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{-3}(2x+3)^{-3}+C=-\frac{1}{6(2x+3)^3}+C\)
다음 부정적분을 구하라.
$$\int(4x+1)^3dx$$
풀이
\(\displaystyle\int(4x+1)^3dx=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}(4x+1)^4+C\)
\(\displaystyle=\frac{1}{16}(4x+1)^4+C\)
다음 부정적분을 구하라.
$$\int\left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}\right)dx$$
풀이
\(\displaystyle\int\left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\int\left(x^{-3}-x^{-2}\right)dx\)
\(\displaystyle=\frac{1}{-2}x^{-2}-(-1)x^{-1}+C\)
\(\displaystyle=-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{x}+C\)
다음 부정적분을 구하라.
$$\int(2x+1)(3x^2+2)dx$$
풀이
\(\displaystyle\int(2x+1)(3x^2+2)dx=\int(6x^3+3x^2+4x+2)dx\)
\(\displaystyle=\frac{6}{4}x^4+\frac{3}{3}x^3+\frac{4}{2}x^2+2x+C=\frac{3}{2}x^4+x^3+2x^2+2x+C\)
다음 부정적분을 구하라.
$$\int(x^3+\sqrt{x})dx$$
풀이
\(\displaystyle\int(x^3+\sqrt{x})dx=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C\)
다음 부정적분을 구하라.
$$\int2dx$$
풀이
\(\displaystyle\int2dx=2x+C\)