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대학수학 연습문제

\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x,&-2\leq x<1\\x^2,&1\leq x<2\\(x-4)^2,&2\leq x\leq3\end{array}\right.일 때 \displaystyle\int_{-2}^3 f(x)dx를 구하라.

풀이

\displaystyle\int_{-2}^3 f(x)dx=\int_{-2}^1 xdx+\int_1^2 x^2dx+\int_2^3 (x-4)^2dx

\displaystyle=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^1+\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2+\left[\frac{(x-4)^3}{3}\right]_2^3

\displaystyle=\frac{1}{2}-2+\frac{8}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=-\frac{3}{2}+\frac{14}{3}

\displaystyle=\frac{28-9}{6}=\frac{19}{6}

대학수학 연습문제

다음 적분을 구하라.

\int_2^3\frac{t^3}{t+1}dt+\int_2^3\frac{1}{u+1}du

풀이

\displaystyle\int_2^3\frac{t^3}{t+1}dt+\int_2^3\frac{1}{u+1}du

\displaystyle=\int_2^3\frac{(t+1)(t^2-t+1)-1}{t+1}dt+\int_2^3\frac{1}{u+1}du

\displaystyle=\int_2^3\frac{(t+1)(t^2-t+1)}{t+1}dt-\int_2^3\frac{1}{t+1}dt+\int_2^3\frac{1}{u+1}du

\displaystyle=\int_2^3(t^2-t+1)dt=\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t\right]_2^3

\displaystyle=\frac{3^3}{3}-\frac{3^2}{2}+3-\left(\frac{2^3}{3}-\frac{2^2}{2}+2\right)

\displaystyle=9-\frac{9}{2}+3-\left(\frac{8}{3}-2+2\right)

\displaystyle=\frac{15}{2}-\frac{8}{3}=\frac{45-16}{6}=\frac{29}{6}

대학수학 연습문제

다음 적분을 구하라.

\int_{-1}^2\vert x-1\vert dx

풀이

\displaystyle\int_{-1}^2\vert x-1\vert dx=\int_1^2(x-1)dx+\int_{-1}^1(-x+1)dx

\displaystyle=\left[\frac{1}{2}x^2-x\right]_1^2+\left[-\frac{1}{2}x^2+x\right]_{-1}^1

\displaystyle=\frac{2^2}{2}-2-\left(\frac{1^2}{2}-1\right)-\frac{1^2}{2}+1-\left(-\frac{(-1)^2}{2}-1\right)

\displaystyle=0-\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{2}

대학수학 연습문제

다음 적분을 구하라.

\int_1^3\frac{u^4-8}{u^2}du

풀이

\displaystyle\int_1^3\frac{u^4-8}{u^2}du=\int_1^3\left(u^2-8u^{-2}\right)du

\displaystyle=\left[\frac{1}{3}u^3-8(-1)u^{-1}\right]_1^3=\left[\frac{u^3}{3}+\frac{8}{u}\right]_1^3

\displaystyle=\frac{3^3}{3}+\frac{8}{3}-\left(\frac{1^3}{3}+\frac{8}{1}\right)=\frac{35}{3}-\frac{25}{3}=\frac{10}{3}

대학수학 연습문제

다음 적분을 구하라.

\int_0^8\sqrt[3]{x}dx

풀이

\displaystyle\int_0^8\sqrt[3]{x}dx=\int_0^8x^{\frac{1}{3}}dx=\left[\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}\right]_0^8=\left[\frac{3}{4}x\sqrt[3]{x}\right]_0^8

\displaystyle=\frac{3}{4}(8)\sqrt[3]{8}-\frac{3}{4}(0)\sqrt[3]{0}=6\sqrt[3]{2^3}-0=6(2)=12

대학수학 연습문제

다음 적분을 구하라.

\int_1^2\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx

풀이

\displaystyle\int_1^2\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\int_1^2\left(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}\right)dx

\displaystyle=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}\right]_1^2=\left[\frac{2}{3}\sqrt{x^3}-2\sqrt{x}\right]_1^2

\displaystyle=\left[\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2\sqrt{x}\right]_1^2=\frac{2}{3}(2)\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\left(\frac{2}{3}(1)\sqrt{1}-2\sqrt{1}\right)

\displaystyle=\frac{4}{3}\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\left(\frac{2}{3}-2\right)=-\frac{2}{3}\sqrt{2}-\left(-\frac{4}{3}\right)

\displaystyle=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{2}

대학수학 연습문제

다음 적분을 구하라.

\int_0^1(1-x)^2dx

풀이

\displaystyle\int_0^1(1-x)^2dx=\left[-\frac{1}{3}(1-x)^3\right]_0^1

\displaystyle=-\frac{1}{3}(1-1)^3-\left(-\frac{1}{3}(1-0)^3\right)=\frac{1}{3}

대학수학 연습문제

수직선 위를 움직이고 있는 어떤 입자는 시간 t에서의 가속도가 a(t)=6t+4, 초기 속도는 v(0)=-6, 초기 위치는 s(0)=3이라고 한다. 이때 운동방정식 s(t)를 구하라.

풀이

v'(t)=a(t)

\displaystyle v(t)=\int{6t+4}dt=\frac{6}{2}t^2+4t+C=3t^2+4t+C

v(0)=-6=3(0)^2+4(0)+C=C

v(t)=3t^2+4t-6

s'(t)=v(t)

\displaystyle s(t)=\int{3t^2+4t-6}dt=\frac{3}{3}t^3+\frac{4}{2}t^2-6t+C=t^3+2t^2-6t+C

s(0)=3=(0)^3+2(0)^2-6(0)+C=C

s(t)=t^3+2t^2-6t+3

대학수학 연습문제

\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}-\frac{1}{x^2}의 부정적분 F(x)\displaystyle F(4)=\frac{5}{4}일 때, F(x)를 구하라.

풀이

\displaystyle F(x)=\int\left(\frac{1}{4}\sqrt{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\int\left(\frac{1}{4}x^{\frac{1}{2}}-x^{-2}\right)dx

\displaystyle=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-(-x^{-1})+C=\frac{1}{6}\sqrt{x^3}+x^{-1}+C

\displaystyle=\frac{1}{6}x\sqrt{x}+\frac{1}{x}+C

\displaystyle F(4)=\frac{5}{4}=\frac{1}{6}4\sqrt{4}+\frac{1}{4}+C

\displaystyle C=\frac{5}{4}-\frac{1}{6}4\cdot2-\frac{1}{4}=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}

\displaystyle F(x)=\frac{1}{6}x\sqrt{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{3}

대학수학 연습문제

다음 부정적분을 구하라.

\int\sqrt{2x-1}dx

풀이

\displaystyle\int\sqrt{2x-1}dx=\int(2x-1)^{\frac{1}{2}}dx

\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}(2x-1)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(2x-1)^{\frac{3}{2}}+C