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함수 \(f(x)=x^3+ax^2+bx+c\)가 \(x=1\)에서 극대값 \(8\)을 가지고 \(x=3\)에서 극소값을 가진다고 한다. 이때 \(a\), \(b\), \(c\)를 구하라.
풀이
\(f'(x)=3x^2+2ax+b=0\)
\(d(x-1)(x-3)=0\)
\(dx^2-4dx+3d=0\)
\(dx^2-4dx+3d=3x^2+2ax+b\)
\(d=3\)
\(-4d=2a\)
\(-4(3)=2a\)
\(a=-6\)
\(3d=b\)
\(3(3)=b\)
\(b=9\)
\(f(1)=1^3+a(1)^2+b(1)+c=8\)
\(1+a+b+c=8\)
\(1-6+9+c=8\)
\(c=4\)
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\sqrt[3]{x^2}$$
풀이
\(x=0\)에서 극소값은 \(0\)이다.
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x^2,&x\neq0\\1,&x=0\end{array}\right.$$
풀이
\(x=0\)에서 극대값은 \(1\)이다.
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=-x^2+2x+3$$
풀이
\(f'(x)=-2x+2=-2(x-1)\)
\(x=1\)에서 극대값은 \(4\)이다.
다음 함수의 극대, 극소값을 구하라.
$$f(x)=\vert x\vert$$
풀이
\(x=0\)에서 극소값은 \(0\)이다.
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=2$$
풀이
\(f'(x)=0\)
증가, 감소하는 범위는 없다.
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=x^3-3x$$
풀이
\(f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1)=3(x+1)(x-1)\)
증가하는 범위는 \(x\leq-1\), \(x\geq1\)이다.
감소하는 범위는 \(-1\leq x\leq1\)이다.
다음 함수의 증가, 감소하는 범위를 각각 구하라.
$$f(x)=x^2-6x-3$$
풀이
\(f'(x)=2x-6=2(x-3)\)
증가하는 범위는 \(x\geq3\)이다.
감소하는 범위는 \(x\leq3\)이다.
구간 \([-1,3]\)에서 미분가능한 함수 \(f(x)\)에 대하여 \(f(-1)=-2\)이고 \(f'(x)\leq3\)일 때 \(f(3)\)이 가질 수 있는 최대값을 구하라.
풀이
평균값 정리에 의하면 아래 식이 성립한다.
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(3)-f(-1)}{3-(-1)}=\frac{f(3)+2}{4}\)
\(f'(x)\leq3\)이기 때문에 \(f'(c)\leq3\)이다.
\(\displaystyle \frac{f(3)+2}{4}\leq3\)
\(\displaystyle f(3)+2\leq12\)
\(\displaystyle f(3)\leq10\)
따라서 \(f(3)\)이 가질 수 있는 최대값은 \(10\)이다.
다음 함수에 대해 주어진 구간에서 평균값 정리를 만족시키는 \(c\)를 모두 구하라.
$$f(x)=\sqrt{x(1-x)},\quad[0,1]$$
풀이
\(\displaystyle f'(c)=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{0-0}{1}=0\)
위 식이 만족하는 \(c\)를 모두 구하면 된다.
\(\displaystyle f(x)=\sqrt{x(1-x)}=(x-x^2)^{\frac{1}{2}}\)
\(\displaystyle f'(x)=\{(x-x^2)^{\frac{1}{2}}\}’=\frac{1}{2}(x-x^2)^{-\frac{1}{2}}(1-2x)\)
\(\displaystyle=\frac{1-2x}{2\sqrt{x-x^2}}=\frac{1-2x}{2\sqrt{x(1-x)}}\)
\(\displaystyle f'(c)=\frac{1-2c}{2\sqrt{c(1-c)}}=0\)
\(\displaystyle 1-2c=0\)
\(\displaystyle 2c=1\)
\(\displaystyle c=\frac{1}{2}\)