[태그:] indefinite integral

수직선 위를 움직이고 있는 어떤 입자는 시간 $t$에서의 가속도가 $a(t)=6t+4$, 초기 속도는 $v(0)=-6$, 초기 위치는 $s(0)=3$이라고 한다. 이때 운동방정식 $s(t)$를 구하라.

풀이

$v'(t)=a(t)$

$\displaystyle v(t)=\int{6t+4}dt=\frac{6}{2}t^2+4t+C=3t^2+4t+C$

$v(0)=-6=3(0)^2+4(0)+C=C$

$v(t)=3t^2+4t-6$

$s'(t)=v(t)$

$\displaystyle s(t)=\int{3t^2+4t-6}dt=\frac{3}{3}t^3+\frac{4}{2}t^2-6t+C=t^3+2t^2-6t+C$

$s(0)=3=(0)^3+2(0)^2-6(0)+C=C$

$s(t)=t^3+2t^2-6t+3$

$\displaystyle f(x)=\frac{1}{4}\sqrt{x}-\frac{1}{x^2}$의 부정적분 $F(x)$가 $\displaystyle F(4)=\frac{5}{4}$일 때, $F(x)$를 구하라.

풀이

$\displaystyle F(x)=\int\left(\frac{1}{4}\sqrt{x}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\int\left(\frac{1}{4}x^{\frac{1}{2}}-x^{-2}\right)dx$

$\displaystyle=\frac{1}{4}\cdot\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-(-x^{-1})+C=\frac{1}{6}\sqrt{x^3}+x^{-1}+C$

$\displaystyle=\frac{1}{6}x\sqrt{x}+\frac{1}{x}+C$

$\displaystyle F(4)=\frac{5}{4}=\frac{1}{6}4\sqrt{4}+\frac{1}{4}+C$

$\displaystyle C=\frac{5}{4}-\frac{1}{6}4\cdot2-\frac{1}{4}=1-\frac{4}{3}=-\frac{1}{3}$

$\displaystyle F(x)=\frac{1}{6}x\sqrt{x}+\frac{1}{x}-\frac{1}{3}$

다음 부정적분을 구하라.

$$\int\sqrt{2x-1}dx$$

풀이

$\displaystyle\int\sqrt{2x-1}dx=\int(2x-1)^{\frac{1}{2}}dx$

$\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot\frac{2}{3}(2x-1)^{\frac{3}{2}}+C=\frac{1}{3}(2x-1)^{\frac{3}{2}}+C$

다음 부정적분을 구하라.

$$\int\frac{1}{(2x+3)^4}dx$$

풀이

$\displaystyle\int\frac{1}{(2x+3)^4}dx=\int(2x+3)^{-4}dx$

$\displaystyle=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{-3}(2x+3)^{-3}+C=-\frac{1}{6(2x+3)^3}+C$

다음 부정적분을 구하라.

$$\int(4x+1)^3dx$$

풀이

$\displaystyle\int(4x+1)^3dx=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}(4x+1)^4+C$

$\displaystyle=\frac{1}{16}(4x+1)^4+C$

다음 부정적분을 구하라.

$$\int\left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}\right)dx$$

풀이

$\displaystyle\int\left(\frac{1}{x^3}-\frac{1}{x^2}\right)dx=\int\left(x^{-3}-x^{-2}\right)dx$

$\displaystyle=\frac{1}{-2}x^{-2}-(-1)x^{-1}+C$

$\displaystyle=-\frac{1}{2x^2}+\frac{1}{x}+C$

다음 부정적분을 구하라.

$$\int(2x+1)(3x^2+2)dx$$

풀이

$\displaystyle\int(2x+1)(3x^2+2)dx=\int(6x^3+3x^2+4x+2)dx$

$\displaystyle=\frac{6}{4}x^4+\frac{3}{3}x^3+\frac{4}{2}x^2+2x+C=\frac{3}{2}x^4+x^3+2x^2+2x+C$

다음 부정적분을 구하라.

$$\int(x^3+\sqrt{x})dx$$

풀이

$\displaystyle\int(x^3+\sqrt{x})dx=\frac{1}{4}x^4+\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$

다음 부정적분을 구하라.

$$\int2dx$$

풀이

$\displaystyle\int2dx=2x+C$