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곡선 \(y=-x^2+2x\)와 \(x\)축으로 둘러싸인 부분의 넓이가 직선 \(y=kx\)에 의해 이등분된다고 한다. 이때 기울기 \(k\)를 구하라.

풀이

곡선 \(y=-x^2+2x\)와 직선 \(y=0\)의 교점의 \(x\) 좌표를 구한다.

\(-x^2+2x=0\)

\(-x(x-2)=0\)

\(x=0, 2\)

적분구간 \(0\leq x\leq2\)에서 \(-x^2+2x\geq0\)이다.

도형의 넓이는

\(\displaystyle\int_0^2(-x^2+2x)dy=\left[-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_0^2\)

\(\displaystyle=-\frac{8}{3}+4=\frac{12-8}{3}=\frac{4}{3}\)

이다.

도형의 넓이의 절반은 \(\displaystyle\frac{2}{3}\)이다.

곡선 \(y=-x^2+2x\)와 직선 \(y=kx\)의 교점의 \(x\) 좌표를 구한다.

\(-x^2+2x=kx\)

\(-x^2+2x-kx=0\)

\(-x^2+(2-k)x=0\)

\(-x(x-(2-k))=0\)

\(x=0, 2-k\)

적분구간 \(0\leq x\leq2-k\)에서 \(-x^2+2x\geq kx\)이다.

\(\displaystyle\int_0^{2-k}(-x^2+2x-kx)dx=\frac{2}{3}\)

\(\displaystyle\left[-\frac{x^3}{3}+\frac{(2-k)x^2}{2}\right]_0^{2-k}=\frac{2}{3}\)

\(\displaystyle-\frac{(2-k)^3}{3}+\frac{(2-k)(2-k)^2}{2}=\frac{2}{3}\)

\(\displaystyle\frac{(2-k)^3}{2}-\frac{(2-k)^3}{3}=\frac{2}{3}\)

\(\displaystyle\frac{(2-k)^3}{6}=\frac{2}{3}\)

\(\displaystyle(2-k)^3=4\)

\(\displaystyle2-k=\sqrt[3]{4}\)

\(\displaystyle k=2-\sqrt[3]{4}\)

곡선 \(2x=y^2\)과 직선 \(y=2x-2\)로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라.

풀이

교점의 \(y\) 좌표를 구한다.

\(\displaystyle\frac{y^2}{2}=\frac{y+2}{2}\)

\(y^2=y+2\)

\(y^2-y-2=0\)

\((y-2)(y+1)=0\)

\(y=-1,2\)

적분구간 \(-1\leq y\leq2\)에서 \(\displaystyle\frac{y^2}{2}\leq\frac{y+2}{2}\)이다.

도형의 넓이는

\(\displaystyle\int_{-1}^2\left(\frac{y+2}{2}-\frac{y^2}{2}\right)dy=\int_{-1}^2\left(-\frac{y^2}{2}+\frac{y}{2}+1\right)dy\)

\(\displaystyle=\left[-\frac{y^3}{6}+\frac{y^2}{4}+y\right]_{-1}^2\)

\(\displaystyle=-\frac{8}{6}+1+2-\left(\frac{1}{6}+\frac{1}{4}-1\right)\)

\(\displaystyle=\frac{-4+9}{3}-\frac{2+3-12}{12}\)

\(\displaystyle=\frac{5}{3}+\frac{7}{12}=\frac{20+7}{12}\)

\(\displaystyle=\frac{27}{12}=\frac{9}{4}\)

이다.

곡선 \(y=x^3\)과 \(y=2x-x^2\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라.

풀이

교점의 \(x\) 좌표를 구한다.

\(x^3=2x-x^2\)

\(x^3+x^2-2x=0\)

\(x(x^2+x-2)=0\)

\(x(x+2)(x-1)=0\)

\(x=-2,0,1\)

적분구간 \(-2\leq x\leq0\)에서 \(x^3\geq 2x-x^2\)이고, 적분구간 \(0\leq x\leq1\)에서 \(x^3\leq 2x-x^2\)이다.

도형의 넓이는

\(\displaystyle\int_{-2}^0(x^3-(2x-x^2))dx+\int_{0}^1(2x-x^2-x^3)dx\)

\(\displaystyle=\int_{-2}^0(x^3+x^2-2x)dx+\int_{0}^1(-x^3-x^2+2x)dx\)

\(\displaystyle=\left[\frac{x^4}{4}+\frac{x^3}{3}-x^2\right]_{-2}^0+\left[-\frac{x^4}{4}-\frac{x^3}{3}+x^2\right]_{0}^1\)

\(\displaystyle=0-\left(\frac{(-2)^4}{4}+\frac{(-2)^3}{3}-(-2)^2\right)+\left(-\frac{1^4}{4}-\frac{1^3}{3}+1^2\right)-0\)

\(\displaystyle=-\left(4-\frac{8}{3}-4\right)+\left(-\frac{1}{4}-\frac{1}{3}+1\right)\)

\(\displaystyle=\frac{8}{3}+\frac{12-3-4}{12}=\frac{32+5}{12}=\frac{37}{12}\)

이다.

두 포물선 \(y=x^2+3x\)와 \(y=-2x^2+6\)으로 둘러싸인 도형의 넓이를 구하라.

풀이

교점의 \(x\) 좌표를 구한다.

\(x^2+3x=-2x^2+6\)

\(3x^2+3x-6=0\)

\(x^2+x-2=0\)

\((x+2)(x-1)=0\)

\(x=-2,1\)

따라서 적분구간은 \(-2\leq x\leq1\)이 되고, 이 구간에서 \(-2x^2+6\geq x^2+3x\)이다.

도형의 넓이는

\(\displaystyle\int_{-2}^1(-2x^2+6-x^2-3x)dx=\int_{-2}^1(-3x^2-3x+6)dx\)

\(\displaystyle=\left[-x^3-\frac{3x^2}{2}+6x\right]_{-2}^1\)

\(\displaystyle=-1-\frac{3}{2}+6-\left(-(-2)^3-\frac{3(-2)^2}{2}+6(-2)\right)\)

\(\displaystyle=\frac{7}{2}-(8-6-12)=\frac{7}{2}+10=\frac{27}{2}\)

이다.

\(\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cl}x,&-2\leq x<1\\x^2,&1\leq x<2\\(x-4)^2,&2\leq x\leq3\end{array}\right.\)일 때 \(\displaystyle\int_{-2}^3 f(x)dx\)를 구하라.

풀이

\(\displaystyle\int_{-2}^3 f(x)dx=\int_{-2}^1 xdx+\int_1^2 x^2dx+\int_2^3 (x-4)^2dx\)

\(\displaystyle=\left[\frac{x^2}{2}\right]_{-2}^1+\left[\frac{x^3}{3}\right]_1^2+\left[\frac{(x-4)^3}{3}\right]_2^3\)

\(\displaystyle=\frac{1}{2}-2+\frac{8}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=-\frac{3}{2}+\frac{14}{3}\)

\(\displaystyle=\frac{28-9}{6}=\frac{19}{6}\)

다음 적분을 구하라.

$$\int_2^3\frac{t^3}{t+1}dt+\int_2^3\frac{1}{u+1}du$$

풀이

\(\displaystyle\int_2^3\frac{t^3}{t+1}dt+\int_2^3\frac{1}{u+1}du\)

\(\displaystyle=\int_2^3\frac{(t+1)(t^2-t+1)-1}{t+1}dt+\int_2^3\frac{1}{u+1}du\)

\(\displaystyle=\int_2^3\frac{(t+1)(t^2-t+1)}{t+1}dt-\int_2^3\frac{1}{t+1}dt+\int_2^3\frac{1}{u+1}du\)

\(\displaystyle=\int_2^3(t^2-t+1)dt=\left[\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+t\right]_2^3\)

\(\displaystyle=\frac{3^3}{3}-\frac{3^2}{2}+3-\left(\frac{2^3}{3}-\frac{2^2}{2}+2\right)\)

\(\displaystyle=9-\frac{9}{2}+3-\left(\frac{8}{3}-2+2\right)\)

\(\displaystyle=\frac{15}{2}-\frac{8}{3}=\frac{45-16}{6}=\frac{29}{6}\)

다음 적분을 구하라.

$$\int_{-1}^2\vert x-1\vert dx$$

풀이

\(\displaystyle\int_{-1}^2\vert x-1\vert dx=\int_1^2(x-1)dx+\int_{-1}^1(-x+1)dx\)

\(\displaystyle=\left[\frac{1}{2}x^2-x\right]_1^2+\left[-\frac{1}{2}x^2+x\right]_{-1}^1\)

\(\displaystyle=\frac{2^2}{2}-2-\left(\frac{1^2}{2}-1\right)-\frac{1^2}{2}+1-\left(-\frac{(-1)^2}{2}-1\right)\)

\(\displaystyle=0-\left(-\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}-\left(-\frac{3}{2}\right)=\frac{5}{2}\)

다음 적분을 구하라.

$$\int_1^3\frac{u^4-8}{u^2}du$$

풀이

\(\displaystyle\int_1^3\frac{u^4-8}{u^2}du=\int_1^3\left(u^2-8u^{-2}\right)du\)

\(\displaystyle=\left[\frac{1}{3}u^3-8(-1)u^{-1}\right]_1^3=\left[\frac{u^3}{3}+\frac{8}{u}\right]_1^3\)

\(\displaystyle=\frac{3^3}{3}+\frac{8}{3}-\left(\frac{1^3}{3}+\frac{8}{1}\right)=\frac{35}{3}-\frac{25}{3}=\frac{10}{3}\)

다음 적분을 구하라.

$$\int_0^8\sqrt[3]{x}dx$$

풀이

\(\displaystyle\int_0^8\sqrt[3]{x}dx=\int_0^8x^{\frac{1}{3}}dx=\left[\frac{3}{4}x^{\frac{4}{3}}\right]_0^8=\left[\frac{3}{4}x\sqrt[3]{x}\right]_0^8\)

\(\displaystyle=\frac{3}{4}(8)\sqrt[3]{8}-\frac{3}{4}(0)\sqrt[3]{0}=6\sqrt[3]{2^3}-0=6(2)=12\)

다음 적분을 구하라.

$$\int_1^2\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx$$

풀이

\(\displaystyle\int_1^2\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)dx=\int_1^2\left(x^{\frac{1}{2}}-x^{-\frac{1}{2}}\right)dx\)

\(\displaystyle=\left[\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}-2x^{\frac{1}{2}}\right]_1^2=\left[\frac{2}{3}\sqrt{x^3}-2\sqrt{x}\right]_1^2\)

\(\displaystyle=\left[\frac{2}{3}x\sqrt{x}-2\sqrt{x}\right]_1^2=\frac{2}{3}(2)\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\left(\frac{2}{3}(1)\sqrt{1}-2\sqrt{1}\right)\)

\(\displaystyle=\frac{4}{3}\sqrt{2}-2\sqrt{2}-\left(\frac{2}{3}-2\right)=-\frac{2}{3}\sqrt{2}-\left(-\frac{4}{3}\right)\)

\(\displaystyle=\frac{4}{3}-\frac{2}{3}\sqrt{2}\)