[태그:] limit of a function

도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.

$$y=\sqrt{x}$$

풀이

$\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\lim_{h\to0}\frac{h}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$

$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}=\frac{1}{\sqrt{x+0}+\sqrt{x}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$

도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.

$$y=\frac{1}{x}$$

풀이

$\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{1}{x+h}-\frac{1}{x} \right)}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{x-(x+h)}{(x+h)x}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{\left(\frac{-h}{(x+h)x}\right)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{-1}{(x+h)x}$

$\displaystyle=\frac{-1}{(x+0)x}=-\frac{1}{x^2}$

도함수의 정의를 이용하여 다음 함수의 도함수를 구하라.

$$y=x^3$$

풀이

$\displaystyle y’=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{(x+h)^3-x^3}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{x^3+3hx^2+3h^2x+h^3-x^3}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h\to0}(3x^2+3hx+h^2)=(3x^2+3(0)x+(0)^2)$

$\displaystyle=3x^2$

모든 실수 $x$, $y$에 대하여

$$f(x+y)=f(x)+f(y)+2xy^2+2x^2y,\quad\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=3$$

을 만족시키는 함수 $f$에 대하여 $f'(2)$를 구하라.

풀이

$\displaystyle f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(x)+f(h)+2xh^2+2x^2h-f(x)}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(h)+2xh^2+2x^2h}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(h)}{h}+\lim_{h\to0}(2xh+2x^2)$

$\displaystyle=3+2x(0)+2x^2=2x^2+3$

$\displaystyle f'(2)=2(2^2)+3=2(4)+3=8+3=11$

함수 $f(x)$가 $x=2$에서 미분가능하고 $f'(2)=2$일 때, 다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{h\to0}\frac{f(2+h^2)-f(2)}{h}$$

풀이

$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2+h^2)-f(2)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h(f(2+h^2)-f(2))}{h^2}$

$\displaystyle =f'(2)\lim_{h\to0}h=2\cdot0=0$

함수 $f(x)$가 $x=2$에서 미분가능하고 $f'(2)=2$일 때, 다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{f(x)-f(2)}$$

풀이

$\displaystyle f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2$

$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{x^2-4}{f(x)-f(2)}=1\div\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^2-4}$

$\displaystyle=1\div\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{(x-2)(x+2)}=1\div \left(f'(2)\lim_{x\to2}\frac{1}{x+2}\right)$

$\displaystyle=1\div\left(2\cdot\frac{1}{2+2}\right)=1\div\frac{2}{4}=1\div\frac{1}{2}=2$

함수 $f(x)$가 $x=2$에서 미분가능하고 $f'(2)=2$일 때, 다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2+h)}{h}$$

풀이

$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2+h)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)-f(2+h)+f(2)}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)}{h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$

$\displaystyle=\lim_{h\to0}\frac{-3(f(2-3h)-f(2))}{-3h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$

$\displaystyle=-3\lim_{h\to0}\frac{f(2-3h)-f(2)}{-3h}-\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}$

$\displaystyle=-3f'(2)-f'(2)=-3\cdot2-2=-6-2=-8$

함수 $f(x)$가 $x=2$에서 미분가능하고 $f'(2)=2$일 때, 다음 극한값을 구하라.

$$\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}$$

풀이

$\displaystyle f'(2)=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x-2}=2$

$\displaystyle \lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{x^3-8}=\lim_{x\to2}\frac{f(x)-f(2)}{(x-2)(x^2+2x+4)}$

$\displaystyle=2\lim_{x\to2}\frac{1}{x^2+2x+4}=\frac{2}{4+4+4}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}$